Условие
Несамопрересекающаяся ломаная расположена в данной полуплоскости, причём концы
ломаной лежат на границе этой полуплоскости. Длина ломаной равна
L, а площадь
многоугольника, ограниченного ломаной и границей полуплоскости, равна
S.
Докажите, что
S
L2/2
![$ \pi$](show_document.php?id=603414)
.
Решение
Добавим к данному многоугольнику многоугольник, симметричный ему относительно
границы полуплоскости. Полученный многоугольник имеет площадь 2
S и периметр
2
L. Поэтому согласно изопериметрическому неравенству
2
S![$ \le$](show_document.php?id=603413)
(2
L)
2/4
![$ \pi$](show_document.php?id=603414)
,
т.е.
S
L2/2
![$ \pi$](show_document.php?id=603414)
.
Источники и прецеденты использования
|
книга |
Автор |
Прасолов В.В. |
Год издания |
2001 |
Название |
Задачи по планиметрии |
Издательство |
МЦНМО |
Издание |
4* |
глава |
Номер |
22 |
Название |
Выпуклые и невыпуклые многоугольники |
Тема |
Выпуклые и невыпуклые фигуры |
параграф |
Номер |
2 |
Название |
Изопериметрическое неравенство |
Тема |
Теорема Хелли |
задача |
Номер |
22.BIs15a |