Задача 108747

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Разложение на множители ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Доказать, что наибольший общий делитель чисел вида  p⁴ – 1,  где p – простое число, большее 5, равен 240.

Решение

Все числа такого вида делятся на 240 (см. задачу 79525). Чтобы убедиться, что это – наибольший общий делитель всех таких чисел, достаточно привести пару чисел такого вида, не имеющих большего общего делителя, например  7⁴ – 1 = 48·50 = 240·10  и  11⁴ – 1 = 120·122 = 240·61.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название	15-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1965
Номер	15
Задача
Название	Задача 11.1