ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79525
Темы:    [ Простые числа и их свойства ]
[ Разложение на множители ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что при простых  p > 7  число  p4 − 1  делится на 240.


Решение

p4 − 1 = (p² − 1)(p² + 1).  В задаче 30378 а) доказано, что  p² − 1  делится на 24. Кроме того,  p² + 1  чётно,
а  (p² − 1)(p2 + 1) ≡ (p² − 1)(p² – 4) = (p − 2)(p – 1)(p + 1)(p + 2) (mod 5).  Из пяти последовательных чисел  p − 2,  p – 1,  ...,  p + 2  одно делится на 5, и это – не p. Поэтому  p4 − 1  делится на  5·2·24 = 240.

Замечания

Конечно, утверждение верно и при  p = 7.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 51
Год 1988
вариант
Класс 7
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .