Играют двое. У первого 1000 чётных карточек (2, 4, ..., 2000), у второго – 1001 нечётная (1, 3, ... , 2001). Ходят по очереди, начинает первый. Ход состоит в следующем: игрок, чья очередь ходить, выкладывает одну из своих карточек, а другой, посмотрев на неё, выкладывает одну из своих карточек; тот, у кого число на карточке больше, записывает себе одно очко, а обе выложенные карточки выбрасываются. Всего получается 1000 ходов (одна карточка второго не используется). Какое наибольшее число очков может гарантировать себе каждый из игроков (как бы ни играл его соперник)?

   Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 104]      

Точки A, B, C и D лежат на окружности с центром O. Прямые AB и CD пересекаются в точке E, а описанные окружности треугольников AEC и BED пересекаются в точках E и P. Докажите, что:
а) точки A, D, P и O лежат на одной окружности;
б)  EPO = 90^o.

Прислать комментарий

Решение

Даны четыре прямые. Докажите, что проекции точки Микеля на эти прямые лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC проведена высота AH; O — центр описанной окружности. Докажите, что  OAH = |B - C|.

Прислать комментарий

Решение

Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, а AA' — диаметр его описанной окружности. Докажите, что отрезок A'H делит сторону BC пополам.

Прислать комментарий

Решение

Через вершины A и B треугольника ABC проведены две параллельные прямые, а прямые m и n симметричны им относительно биссектрис соответствующих углов. Докажите, что точка пересечения прямых m и n лежит на описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 104]