Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 104]

Задача 56626 (#02.081)

Тема:

[

Три окружности пересекаются в одной точке

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Докажите, что если треугольники A₁B₁C₁ и ABC подобны и противоположно ориентированы, то описанные окружности треугольников AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C проходят через центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 56627 (#02.082)

Тема:

[

Три окружности пересекаются в одной точке

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

Точки A', B' и C' симметричны некоторой точке P относительно сторон BC, CA и AB треугольника ABC.
а) Докажите, что описанные окружности треугольников AB'C', A'BC', A'B'C и ABC имеют общую точку.
б) Докажите, что описанные окружности треугольников A'BC, AB'C, ABC' и A'B'C' имеют общую точку Q.
в) Пусть I, J, K и O — центры описанных окружностей треугольников A'BC, AB'C, ABC' и A'B'C'. Докажите, что QI : OI = QJ : OJ = QK : OK.

Прислать комментарий Решение

Задача 56628 (#02.083)

Тема:

[

Точка Микеля

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Четыре прямые образуют четыре треугольника.
а) Докажите, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку (точка Микеля).
б) Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности, проходящей через точку Микеля.

Прислать комментарий Решение

Задача 56629 (#02.084)

Тема:

[

Точка Микеля

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прямая пересекает стороны AB, BC и CA треугольника (или их продолжения) в точках C₁, B₁ и A₁; O, O_a, O_b и O_c — центры описанных окружностей треугольников ABC, AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C; H, H_a, H_b и H_c — ортоцентры этих треугольников. Докажите, что:
а) $\triangle$ O_aO_bO_c $\sim$ $\triangle$ ABC.
б) серединные перпендикуляры к отрезкам OH, O_aH_a, O_bH_b и O_cH_c пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 56630 (#02.085)

Тема:

[

Точка Микеля

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что точка Микеля для прямых, содержащих его стороны, лежит на отрезке, соединяющем точки пересечения продолжений сторон.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 104]