Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 195]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67006

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Индукция (прочее) ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Хозяйка испекла квадратный торт и отрезала от него несколько кусков. Первый разрез проведён параллельно стороне исходного квадрата от края до края. Следующий разрез проведён в оставшейся части от края до края перпендикулярно предыдущему разрезу, далее аналогично (сколько-то раз). Все отрезанные куски имеют равную площадь. Может ли оставшаяся часть торта быть квадратом?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67517

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

На плоскости расположены круг и правильный 100-угольник, имеющие одинаковые площади. Какое наибольшее количество вершин 100-угольника может находиться внутри круга (не на границе)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67506

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Дан многочлен с целыми коэффициентами, имеющий хотя бы один целый корень. Наибольший общий делитель всех его целых корней равен $1$. Докажите, что если старший коэффициент многочлена равен $1$, то наибольший общий делитель остальных коэффициентов тоже равен $1$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67535

Темы:   [ Комбинаторная геометрия (прочее) ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Многоугольники (экстремальные свойства) ] [ Параллелограммы (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Дан выпуклый $2n$-угольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны друг другу. (Стороны противоположны, если при движении от одной к другой по контуру $2n$-угольника нужно пройти $n - 1$ других сторон.) Пару противоположных сторон назовём правильной, если у них есть общий перпендикуляр, концы которого принадлежат самим сторонам, а не их продолжениям. Каково наименьшее возможное количество правильных пар?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 103917

Темы:   [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Неравенства для углов треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Дано, что ни для какой стороны треугольника из проведённых к ней высоты, биссектрисы и медианы нельзя составить треугольник.
Доказать, что один из углов треугольника больше чем 135°.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 195]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями