Версия для печати
Убрать все задачи

---

Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$. Точка $T$ на прямой $BC$ выбрана так, что прямая $AT$ касается $\omega$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L$, а окружность $\omega$ в точке $A_0$. Прямая $TA_0$ пересекает $\omega$ в точке $P$. Точка $K$ на отрезке $BC$ такова, что $BL=CK$. Докажите, что $\angle BAP=\angle CAK$.

   Решение

---

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Точки M и N являются проекциями вершин B и C на AD. Окружность с диаметром MN пересекает BC в точках X и Y. Докажите, что  ∠BAX = ∠CAY.

   Решение

---

В треугольнике $ABC$, где $AB < BC$, биссектриса угла $C$ пересекает в точке $P$ прямую, параллельную $AC$ и проходящую через вершину $B$, а в точке $R$ – касательную из вершины $B$ к описанной окружности треугольника. Точка $R'$ симметрична $R$ относительно $AB$. Докажите, что $\angle R'PB = \angle RPA$.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 118]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66307

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M – середина стороны AC, а W – середина дуги AB описанной окружности, не содержащей C. Оказалось, что  ∠AIM = 90°.  В каком отношении точка I делит отрезок CW?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98165

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

a, b, c – натуральные числа,  НОД(a, b, c) = 1  и     Докажите, что  a – b  – точный квадрат.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111792

Темы:   [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Внутри равнобедренного треугольника ABC  (AB = BC)  выбрана точка M таким образом, что  ∠AMC = 2∠B.  На отрезке AM нашлась такая точка K, что
∠BKM = ∠B.  Докажите, что  BK = KM + MC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111852

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На стороне BC ромба ABCD выбрана точка M. Прямые, проведённые через M перпендикулярно диагоналям BD и AC, пересекают прямую AD в точках P и Q соответственно. Оказалось, что прямые PB, QC и AM пересекаются в одной точке. Чему может быть равно отношение  BM : MC?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111855

Темы:   [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Через точку I пересечения биссектрис треугольника ABC проведена прямая, пересекающая стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Треугольник BMN оказался остроугольным. На стороне AC выбраны точки K и L так, что  ∠ILA = ∠IMB,  ∠IKC = ∠INB.  Докажите, что
AM + KL + CN = AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 118]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями