Задача 111855

Темы:    [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Берлов С.Л.

Через точку I пересечения биссектрис треугольника ABC проведена прямая, пересекающая стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Треугольник BMN оказался остроугольным. На стороне AC выбраны точки K и L так, что  ∠ILA = ∠IMB,  ∠IKC = ∠INB.  Докажите, что
AM + KL + CN = AC.

Решение

Опустим из точки I на стороны AB, BC, CA перпендикуляры IC₁, IA₁, IB₁ соответственно (см. рис.). Очевидно, эти перпендикуляры равны по длине; кроме того,  AC₁ = AB₁  и  CA₁ = CB₁.  Значит, прямоугольные треугольники IKB₁ и INA₁ равны по катету и острому углу, поэтому  B₁K = A₁N.  Аналогично  B₁L = C₁M.  Следовательно,  AM + KL + CN = AM + MC₁ + NA₁ + CN = AC₁ + CA₁ = AB₁ + CB₁ = AC.

Замечания

Утверждение верно и в случае, когда треугольник BMN тупоугольный.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2007
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	8
задача
Номер	07.5.8.6