Задача 111792

Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Берлов С.Л.

Внутри равнобедренного треугольника ABC  (AB = BC)  выбрана точка M таким образом, что  ∠AMC = 2∠B.  На отрезке AM нашлась такая точка K, что
∠BKM = ∠B.  Докажите, что  BK = KM + MC.

Решение

Продлим отрезок CM до пересечения с BK в точке L. По теореме о внешнем угле треугольника  ∠KLM = ∠AMC – ∠BKM = ∠B,  откуда  MK = ML.
∠LCB = ∠KLM – ∠LBC = ∠B – ∠KBC = ∠ABK,  ∠BAK = ∠BKM – ABK = ∠KLM – ∠BCL = ∠LBC;  поэтому треугольники ABK и BCL равны. Значит,
BK = CL = CM + ML = CM + MK.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2007
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	8
задача
Номер	07.4.8.7