ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78064
Темы:    [ Системы точек ]
[ Итерации ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Какое наименьшее число точек можно выбрать на окружности длины 1956 так, чтобы для каждой из этих точек нашлась ровно одна выбранная точка на расстоянии 1 и ровно одна на расстоянии 2 (расстояния измеряются по окружности)?

Решение

Ответ: 1304. Пусть A — одна из выбранных точек, B и C — выбранные точки, удалённые от неё на расстояния 1 и 2 соответственно. Расположение в порядке ABC невозможно, поскольку в таком случае для точки B есть две выбранные точки на расстоянии 1. Поэтому точки расположены в таком порядке: C    AB (или BA    C). Пусть D — точка, удалённая от C на расстояние 1. Расположение CDAB, очевидно, невозможно. Поэтому расположение такое: DC    AB. Пусть, далее, E — точка, удалённая от B на расстояние 1. Она расположена следующим образом: DC    AB    E. Продолжая эти рассуждения, мы увидим, что окружность длины 1956 окажется разбитой на 1956/3 = 652 дуги длины 3 (концами этих дуг служат точки A, C, E, ...). На каждой дуге лежит одна точка. Всего получаем 2 . 652 = 1304 точки. Все эти точки обязательно должны присутствовать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 19
Год 1956
вариант
Класс 7
Тур 1
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .