Версия для печати
Убрать все задачи

---

Может ли быть верным равенство  К×О×Т = У×Ч×Е×Н×Ы×Й,  если в него вместо букв подставить цифры от 1 до 9? Разным буквам соответствуют разные цифры.

   Решение

---

а) Даны прямые a, b, c, d, проходящие через одну точку, и прямая l, через эту точку не проходящая. Пусть A, B, C, D — точки пересечения прямой l с прямыми a, b, c, d соответственно. Докажите, что (abcd )= (ABCD).
б) Докажите, что двойное отношение четверки точек сохраняется при проективных преобразованиях.

   Решение

---

Внутри выпуклого четырехугольника A₁A₂B₂B₁ нашлась такая точка C, что треугольники CA₁A₂ и CB₂B₁ – правильные. Точки C₁ и C₂ симметричны точке C относительно прямых A₂B₂ и A₁B₁ соответственно. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны.

   Решение

---

Даны прямоугольный треугольник ABC и две взаимно перпендикулярные прямые x и y, проходящие через вершину прямого угла A. Для точки X, движущейся по прямой x, определим y_b как образ прямой y при симметрии относительно XB, а y_c – как образ прямой y при симметрии относительно XC. Пусть y_b и y_с пересекаются в точке Y. Найдите геометрическое место точек Y (для несовпадающих y_b и y_с).

   Решение

---

Вася в ярости режет прямоугольный лист бумаги ножницами. Каждую секунду он разрезает первый попавшийся кусок случайным прямолинейным разрезом на две части.
  а) Найдите математическое ожидание числа сторон многоугольника, который случайно попадётся Васе через час такой работы.
  б) Решите эту же задачу, если вначале лист бумаги имел форму произвольного многоугольника.

   Решение

---

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки A до прямых BC, CD и DE равны соответственно a, b и c.
Найдите расстояние от вершины A до прямой BE.

   Решение

Тема:    [ Разрезания, разбиения, покрытия и замощения ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Плоскость разбита на выпуклые семиугольники единичного диаметра. Докажите, что любой круг радиуса 200 пересекает не менее миллиарда из них.

Решение

Рассмотрим круг $K$ радиуса $R$. Внутри него имеется $k$ вершин наших семиугольников, средний угол при таких вершинах не превосходит $2\pi/3$. (В более чем тройной развилке средний угол еще меньше, а если несколько углов выходят на сторону, то средний такой угол не больше $\pi/2$).

С другой стороны, рассмотрим семиугольники, пересеченные $K$ или находящиеся внутри $K$. Средний угол при вершине равен $5\pi/7$. Пусть $n$ – число их вершин вне $K$, все они находятся в единичной окрестности круга $K$. Угол при каждой такой вершине не больше $\pi$ (впрочем, это верно для любого угла выпуклого многоугольника).

Чтобы удовлетворился баланс средних, должно выполняться $n\pi+k\cdot 2\pi/3 > (n+k)5\pi/7$. Откуда $n > k/6$.

Итак, в единичном слое, окружающем $K$, число вершин больше, чем число вершин внутри $K$, деленное на $6$.

Теперь заметим, что $(1+1/6)^6 > 2$, $(1+1/6)^{60} > 2^{10} > 1000$ и $(1+1/6)^{180} > 1000^3$.

Отсюда легко видеть, что число семиугольников (число углов, деленное на $7$) в круге радиуса $200$ не меньше $10^9$ (поскольку $6$ слоев удваивают его, $18$ увеличивают в $8 > 7$ раз и еще одна каемка покрывает все задетые ранее семиугольники).

Источники и прецеденты использования