ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55483
Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность касается стороны BC треугольника ABC в точке M, а продолжений сторон AB и AC — в точках P и Q соответственно. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке K, а стороны AB — в точке L. Докажите, что:

а) отрезок AP равен полупериметру p треугольника ABC;

б) BM = CK;

в) BC = PL.


Подсказка

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны между собой.

Если окружность, вписанная в треугольник PQR, касается стороны PQ в точке S, а p — полупериметр треугольника, то PS = p - RQ.


Решение

а) Поскольку BP = BM, CQ = CM и AP = AQ, то

AB + BC + AC = AB + (BM + MC) + AC =

= AB + (BP + QC) + AC = (AB + BP) + (QC + AC) = AP + AQ = 2AP

Следовательно,

AP = $\displaystyle {\frac{AB+BC+AC}{2}}$ = p.

б)

BM = BP = AP - AB = p - AB = CK.

в)

PL = AP - AL = p - (p - BC) = BC.

Замечания

В "Задачнике Кванта" данная задача была в следующей формулировке: В угол вписаны две окружности; у них есть общая внутренняя касательная Т1Т2 (где Т1 и Т2 точки касания), пересекающая стороны угла в точках А1 и А2. Докажите равенство А1Т1 = А2Т2 (или, что эквивалентно, А1Т2 = А2Т1).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4805
журнал
Название "Квант"
год
Год 1970
выпуск
Номер 5
Задача
Номер М22а

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .