ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52395
Темы:    [ Вневписанные окружности ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9
Название задачи: Теорема Мансиона..
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Пусть вневписанная окружность касается стороны AB треугольника ABC. Точки A, B и центры O1 и O2 вписанной и вневписанной окружностей лежат на окружности с центром в середине отрезка O1O2.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть вневписанная окружность касается стороны AB треугольника ABC;

$\displaystyle \angle$C = $\displaystyle \alpha$$\displaystyle \angle$CAB = $\displaystyle \beta$$\displaystyle \angle$CBA = $\displaystyle \gamma$;

O1, O2 — центры вписанной и вневписанной окружностей соответственно, M — середина O1O2.

Поскольку отрезок O1O2 виден из точек A и B под прямым углом, то M — центр окружности, описанной около четырёхугольника AO1BO2. Тогда

$\displaystyle \angle$AO2B = $\displaystyle \angle$AO2O1 + $\displaystyle \angle$BO2O1 = $\displaystyle \angle$O1BA + $\displaystyle \angle$O1AB = $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ = 90o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$,

$\displaystyle \angle$AMB = 2$\displaystyle \angle$AO2B = 180o - $\displaystyle \alpha$.

Следовательно, точки A, C, B и M лежат на одной окружности, т.е. на окружности, описанной около треугольника ABC.


Также доступны документы в формате TeX

Замечания

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 57
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 12
Год 1949
вариант
Класс 7,8
Тур 1
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .