Задача 31305

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 6,7,8

Условие

Решить в целых числах уравнение  5x³ + 11y³ + 13z³ = 0.

Решение

  Как и в задаче 31291, уравнение однородно, поэтому достаточно найти ненулевые решения, в которых неизвестные взаимно просты в совокупности.
  Пусть такое решение есть. Из условия следует, что  5x³ ≡ 2y³ (mod 13).  Как легко проверить, куб при делении на 13 может давать остаток 0, ±1 или ±5. Отсюда следует, что x и y делятся на 13. Но тогда и z делится на 13. Противоречие.

Ответ

(0, 0, 0).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Иванов С.В.
Название	Математический кружок
глава
Номер	12
Название	Уравнения в целых числах
Тема	Уравнения в целых числах
задача
Номер	33