Задача 31303

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Условие

Решить в натуральных числах уравнение  3ⁿ + 55 = m².

Решение

  Разберём два случая.
  1) n = 2k.  Запишем уравнение в виде  (m – 3^k)(m + 3^k) = 55.  Отсюда  3^k < 55,  то есть  k ≤ 3.  Подставляя в исходное уравнение значения  n = 2, 4, 6,  находим соответствующие значения m.
  2)  n = 2k + 1.  Запишем уравнение в виде  3·9^k + 55 = m².  Последняя цифра левой части 2 или 8 (9^k оканчивается на 9 или 1), а квадрат на такую цифру оканчиваться не может.

Ответ

(2, 8),  (6, 28).

Замечания

При разборе 2-го случая с тем же успехом можно использовать остаток от деления на 4.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Иванов С.В.
Название	Математический кружок
глава
Номер	12
Название	Уравнения в целых числах
Тема	Уравнения в целых числах
задача
Номер	31