Задача 31301

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Условие

Найти наименьшее значение выражения  |36^k – 5^l|  (k, l – натуральные числа).

Решение

  |36¹ – 5²| = 11.  Докажем, что  |36^k – 5^l| ≥ 11.
  Число  |36^k – 5^l|  нечётно и не делится ни на 3, ни на 5, поэтому оно не может равняться 0, 2, 3, 4. 5, 6, 8, 9 или 10. Кроме того,
|36^k – 5^l| ≡ ± 1 (mod 5),  значит, оно не равно 7.
  Если  36^k – 5^l = 1,  то  5^l = 36^k – 1  делится на 35, что не так.
  Если  36^k – 5^l = – 1,  то  5^l = 36^k + 1 ≡ 2 (mod 5),  что также неверно.

Ответ

11.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Иванов С.В.
Название	Математический кружок
глава
Номер	12
Название	Уравнения в целых числах
Тема	Уравнения в целых числах
задача
Номер	29