Задача 31300

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Условие

Решить в целых числах:  a² + b² = 3(c² + d²).

Решение

  Как и в задаче 31291, уравнение однородно, поэтому достаточно найти ненулевые решения, в которых неизвестные взаимно просты в совокупности.
  Пусть такое решение есть, тогда не все неизвестные кратны 3. Но правая часть, а значит, и левая часть делится на 3. А сумма двух квадратов кратна 3 только, если оба слагаемых кратны 3 (см. задачу 108744). Подставим  x = 3u,  y = 3v  и сократим на 3:  3(u² + v²) = z² + w².  Теперь в правой части сумма двух квадратов кратна 3, значит, оба они кратны 3. Противоречие.

Ответ

(0, 0, 0, 0).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Иванов С.В.
Название	Математический кружок
глава
Номер	12
Название	Уравнения в целых числах
Тема	Уравнения в целых числах
задача
Номер	28