Задача 31299

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Условие

Найти все натуральные n, для которых  2ⁿ + 33  – точный квадрат.

Решение

  Если нечётно, то  2ⁿ + 33 ≡ 2 (mod 3),  поэтому квадратом быть не может.
  Пусть  n = 2k  и  2ⁿ + 33 = m².  Тогда  (m – 2^k)(m + 2^k) = 33.  Отсюда  m – 2^k = 1,  m + 2^k = 33  или  m – 2^k = 3,  m + 2^k = 11.  В первом случае  2^k = 16,  во втором  2^k = 4.

Ответ

n = 4 или 8.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Иванов С.В.
Название	Математический кружок
глава
Номер	12
Название	Уравнения в целых числах
Тема	Уравнения в целых числах
задача
Номер	27