Версия для печати
Убрать все задачи

---

Может ли быть верным равенство  К×О×Т = У×Ч×Е×Н×Ы×Й,  если в него вместо букв подставить цифры от 1 до 9? Разным буквам соответствуют разные цифры.

   Решение

---

а) Даны прямые a, b, c, d, проходящие через одну точку, и прямая l, через эту точку не проходящая. Пусть A, B, C, D — точки пересечения прямой l с прямыми a, b, c, d соответственно. Докажите, что (abcd )= (ABCD).
б) Докажите, что двойное отношение четверки точек сохраняется при проективных преобразованиях.

   Решение

---

Внутри выпуклого четырехугольника A₁A₂B₂B₁ нашлась такая точка C, что треугольники CA₁A₂ и CB₂B₁ – правильные. Точки C₁ и C₂ симметричны точке C относительно прямых A₂B₂ и A₁B₁ соответственно. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны.

   Решение

---

Даны прямоугольный треугольник ABC и две взаимно перпендикулярные прямые x и y, проходящие через вершину прямого угла A. Для точки X, движущейся по прямой x, определим y_b как образ прямой y при симметрии относительно XB, а y_c – как образ прямой y при симметрии относительно XC. Пусть y_b и y_с пересекаются в точке Y. Найдите геометрическое место точек Y (для несовпадающих y_b и y_с).

   Решение

---

Вася в ярости режет прямоугольный лист бумаги ножницами. Каждую секунду он разрезает первый попавшийся кусок случайным прямолинейным разрезом на две части.
  а) Найдите математическое ожидание числа сторон многоугольника, который случайно попадётся Васе через час такой работы.
  б) Решите эту же задачу, если вначале лист бумаги имел форму произвольного многоугольника.

   Решение

---

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки A до прямых BC, CD и DE равны соответственно a, b и c.
Найдите расстояние от вершины A до прямой BE.

   Решение

---

На плоскости даны прямая $l$ и точка $A$ вне ее. Найдите геометрическое место инцентров остроугольных треугольников с вершиной $A$, у которых одна сторона лежит на прямой $l$.

   Решение

---

У выпуклого многогранника 2n граней ( n 3 ), и все грани являются треугольниками. Какое наибольшее число вершин, в которых сходится ровно 3 ребра, может быть у такого многогранника?

   Решение

---

Для каких α существует функция f : , отличная от константы, такая, что

f(α(x+y))=f(x)+f(y);?

   Решение

---

Точка $P$ лежит внутри выпуклого четырехугольника $ABCD$. Общие внутренние касательные к вписанным окружностям треугольников $PAB$ и $PCD$ пересекаются в точке $Q$, а общие внутренние касательные к вписанным окружностям треугольников $PBC$ и $PAD$ – в точке $R$. Докажите, что $P$, $Q$, $R$ лежат на одной прямой.

   Решение

Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, взаимно перпендикулярны и равны 2 и 7. Найдите площадь четырёхугольника.

Ответ

14.
Пусть K , L , M и N середины сторон соответственно AB , BC , CD и AD выпуклого четырёхугольника ABCD , LN=2 , KM=7 .
Отрезки KL и MN — средние линии треугольников ABC и ADC , поэтому KL || AC , KL=AC , MN || AC , MN=AC , значит, четырёхугольник KLMN — параллелограмм, а т.к. его диагонали KM и LN перпендикулярны, то это ромб. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, т.е. S_KLMN=· 2· 7 = 7 .
Поскольку KL — средняя линия треугольника ABC , площадь треугольника KBL равна четверти площади треугольника ABC . Аналогично, площадь треугольника MDN равна четверти площади треугольника ADC , поэтому

S_{Δ KBL}+S_{Δ MDN} = S_{Δ ABC}+ S_{Δ ADC}= (S_{Δ ABC}+S_{Δ ADC})= S_ABCD.
Аналогично, S_{Δ KAN}+S_{Δ MCL} =S_ABCD . Следовательно,
S_KLMN = S_ABCD-S_{Δ KBL}-S_{Δ MDN}- S_{Δ KAN}-S_{Δ MCL}=

=S_ABCD-S_ABCD-S_ABCD= S_ABCD-S_ABCD=S_ABCD,

S_ABCD=2S_KLMN= 2· 7=14.

Источники и прецеденты использования