|
|
 |
Условие
Функция f каждому вектору v (с общим началом в точке O) пространства ставит в соответствие число f(v), причём для любых векторов u, v и любых чисел α, β значение f(αu + βv) не превосходит хотя бы одного из чисел f(u) или f(v). Какое наибольшее количество значений может принимать такая функция?
Решение
Оценка. Последовательно докажем, что описанная в условии функция f принимает:
а) не более двух различных значений на любой прямой (проходящей через
точку O): действительно, если она на трёх векторах одной прямой
принимает разные значения, причём на векторе v – наибольшее, а на некотором ненулевом (такой найдётся) векторе u – меньшее значение, то для некоторого числа α получим противоречие: v = αu ⇒ f(v) = f(αu + 0·u) ≤ f(u);
б) не более трёх различных значений на любой плоскости (проходящей
через точку O): действительно, если она на четырёх векторах одной
плоскости принимает разные значения, причём на векторе v –
наибольшее, а на некоторых неколлинеарных (такие, в силу предыдущего
пункта, найдутся) векторах u1, u2 – меньшие значения, то для некоторых чисел α1, α2 получим противоречие: v = α1u1 + α2u2 ⇒ f(v) = f(α1u1 + α2u2) ≤ max{f(u1), f(u2)};
в) не более четырёх различных значений на всём пространстве:
действительно, если она на пяти векторах принимает разные значения,
причём на векторе v – наибольшее, а на некоторых некомпланарных (такие, в силу предыдущего пункта, найдутся) векторах u1, u2, u3 – меньшие значения, то для некоторых чисел α1, α2, α3 получим противоречие:
v = α1u1 + α2u2 + α3u3 ⇒ f(v) = f(α1u1 + (α2u2 + α3u3)) ≤ max{f(u1), f(α2u2 + α3u3)} ≤ max{f(u1), max{f(u2), f(u3)}} = max{f(u1), f(u2), f(u3)}.
Пример функции f, удовлетворяющей условию задачи и принимающей ровно четыре различных значения: введя в пространстве декартовы координаты с началом в точке O, определим v = (x, y, z),
Замечания
Описанная в задаче функция возникла в исследованиях великого русского математика А.М. Ляпунова по устойчивости движения: роль векторов v играли решения линейной системы, образующие n-мерное пространство (в нашем случае – трёхмерное), а значениями функции f служили их показатели Ляпунова.
Такая функция удовлетворяла описанному в условии нашей задачи неравенству f(u + v) = max{f(u), f(v)}, откуда вытекало, что у решений одной системы могло быть не более n различных конечных показателей Ляпунова (не считая показателя нулевого решения, равного по определению – ∞).
Для доказательства этого факта достаточно заметить, что у функции f прообраз любого замкнутого луча [– ∞, y] представляет собой в исходном пространстве линейное подпространство, так как f(u), f(v) ≤ f(αu + βv) ≤ y, а значит, если бы функция принимала не менее n + 2 различных значений
y0 < y1 < ... < yn < yn+1, то прообразы соответствующих им лучей образовывали бы систему из n + 2 вложенных подпространств
L0 ⊂ L1 ⊂ ... ⊂ Ln ⊂ Ln+1 возрастающей размерности, что противоречит n-мерности исходного пространства.
