Версия для печати
Убрать все задачи

---

К Ивану на день рождения пришли 2$N$ гостей. У Ивана есть $N$ чёрных и $N$ белых цилиндров. Он хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или несколько) так, чтобы в каждом хороводе было хотя бы два человека и люди в цилиндрах одного цвета не стояли в хороводе рядом. Докажите, что Иван может устроить бал ровно $(2N)!$ различными способами. (Цилиндры одного цвета неразличимы; все гости различимы.)

   Решение

---

Отрезки AD , BD и CD попарно перпендикулярны. Известно, что площадь треугольника ABC равна S , а площадь треугольника ABD равна Q . Найдите площадь ортогональной проекции треугольника ABD на плоскость ABC .

   Решение

---

В Долине Пяти Озёр есть пять одинаковых озёр, некоторые из которых соединены ручьями (на рис. пунктиром обозначены возможные "маршруты" ручьёв). Маленькие караси появляются на свет только в озере S. Пока карась взрослеет, он ровно четыре раз переходит из одного озера в другое по какому-нибудь ручью (карась выбирает ручей наудачу), а затем остается жить в том озере, в котором оказался. Из каждой тысячи карасей в среднем 375 остается жить в озере S, а остальные остаются жить в озере B, в других озерах не остается жить никто. Определите, сколько ручьёв в Долине Пяти Озёр.

   Решение

---

В треугольнике ABC угол A равен 120°, точка D лежит на биссектрисе угла A, и  AD = AB + AC.  Докажите, что треугольник DBC – равносторонний.

   Решение

---

а) В городе Мехико для ограничения транспортного потока для каждой частной автомашины устанавливаются два дня недели, в которые она не может выезжать на улицы города. Семье требуется каждый день иметь в распоряжении не менее десяти машин. Каким наименьшим количеством машин может обойтись семья, если её члены могут сами выбирать запрещенные дни для своих автомобилей?

б) В Мехико для каждой частной автомашины устанавливается один день в неделю, в который она не может выезжать на улицы города. Состоятельная семья из десяти человек подкупила полицию, и для каждой машины они называют два дня, один из которых полиция выбирает в качестве невыездного дня. Какое наименьшее количество машин нужно купить семье, чтобы каждый день каждый член семьи мог самостоятельно ездить, если утверждение невыездных дней для автомобилей идёт последовательно?

   Решение

---

Докажите, что каково бы ни было целое число n, среди чисел n,  n + 1,  n + 2,  ...,  n + 9  есть хотя бы одно, взаимно простое с остальными девятью.

   Решение

---

На доске написаны две суммы:

1 + 22 + 333 + 4444 + 55555 + 666666 +7777777 + 88888888 + 999999999
9 + 98 + 987 + 9876 + 98765 + 987654 + 9876543 + 98765432 + 987654321

Определите, какая из них больше (или они равны).

   Решение

---

Из шахматной доски $8\times8$ вырезали 10 клеток. Известно, что среди вырезанных клеток есть как черные, так и белые. Какое наибольшее количество двухклеточных прямоугольников можно после этого гарантированно вырезать из этой доски?

   Решение

Темы:    [ Ортогональное проектирование ] [ Скрещивающиеся прямые и ГМТ ] [ Цилиндр ] [ Правильная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Даны правильная четырёхугольная пирамида SABCD и цилиндр, центр симметрии которого лежит на прямой SO ( SO – высота пирамиды). Точка F – середина ребра SD , точка E принадлежит апофеме ST грани BSC , причём TE=3ES . Прямоугольник, являющийся одним из осевых сечений цилиндра, расположен так, что две его вершины лежат на прямой AB , а одна из двух других вершин лежит на прямой EF . Найдите объём цилиндра, если SO=3 , AB=1 .

Решение

Пусть K и L – вершины осевого сечения цилиндра, лежащие на прямой AB (рис.1). Тогда отрезок KL не может быть диагональю осевого сечения цилиндра, т.к. в противном случае точки K и L были бы симметричны относительно точки Q – центра симметрии цилиндра, лежащеей на прямой SO , а прямые AB и SO – скрещивающиеся. Следовательно, отрезок KL либо высота, либо диаметр основания цилиндра. Рассмотрим всевозможные отрезки, один конец которых лежит на прямой AB , а середина – на прямой SO . Геометрическое место вторых концов таких отрезков есть плоскость γ , проходящая через точку D , параллельно прямым AB и SO . Пусть N – точка, симметричная L относительно точки Q . Тогда N лежит в этой плоскости. Пусть при ортогональном проектировании пирамиды на плоскость γ точки S , E , F и O перешли в точки S1 , E1 , F1 и O1 соответственно. Тогда O1 – середина CD , прямая E1F1 – ортогональная проекция наклонной EN на плоскость γ , а также

FF1 = SS1 = OO1 = · =, EE1 = CT = .
Отрезок FF1 – средняя линия треугольника NEE1 , поэтому F1 – середина NE1 . Пусть E2 , F2 и N2 – проекции точек соответственно E1 , F1 и N на прямую CD (рис.2). Тогда
E1E2 = S1O1 = SO= · 3 = ,

F1F2=S1O1 = SO = · 3 = ,
а т.к. F1 – середина NE1 , то F2 – середина N2E2 . Поэтому F1F2 – средняя линия прямоугольной трапеции E1E2N2N с основаниями E1E2 и NN2 . Значит,
NN2 = 2F1F2 - E1E2 = 2· - = ,

N2D = N2F2-DF2 = E2F2-DF2= (+)-= .
Точка O – середина ортогональной проекции наклонной NL на плоскость основания ABCD пирамиды, поэтому O – середина отрезка N2L . Значит,
QO = NN2 = · = , BL = DN2 = .
Пусть P – середина AB . Из прямоугольного треугольника OPQ находим, что
PQ = = = .
Заметим, что P – либо центр основания цилиндра, либо середина его образующей. В любом из этих случаев P – середина KL , поэтому
KL= 2PL = 2(PB+BL)=2(+) = .
Если h – высота цилиндра, r – радиус его основания, а V – объём, то либо r=PL = и h=2PQ = , а тогда
V=π r2h = π · · = ,
либо r=PQ = и h=2PL = , тогда получаем тот же ответ:
V=π r2h = π · · = ,

Ответ

π .

Источники и прецеденты использования