ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Погудин Г.А.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: 1 [Всего задач: 4]      



Задача 66861

Темы:   [ Правило произведения ]
[ Сочетания и размещения ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

К Ивану на день рождения пришли 2$N$ гостей. У Ивана есть $N$ чёрных и $N$ белых цилиндров. Он хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или несколько) так, чтобы в каждом хороводе было хотя бы два человека и люди в цилиндрах одного цвета не стояли в хороводе рядом. Докажите, что Иван может устроить бал ровно $(2N)!$ различными способами. (Цилиндры одного цвета неразличимы; все гости различимы.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 64855

Темы:   [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10,11

Петя подсчитал количество всех возможных m-буквенных слов, в записи которых могут использоваться только четыре буквы T, O, W и N, причём в каждом слове букв T и O поровну. Вася подсчитал количество всех возможных 2m-буквенных слов, в записи которых могут использоваться только две буквы T и O, и в каждом слове этих букв поровну. У кого слов получилось больше? (Слово – это любая последовательность букв.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 66560

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

К Ивану на день рождения пришли $3 n$ гостей. У Ивана есть $3 n$ цилиндров с написанными сверху буквами А, Б и В, по $n$ штук каждого типа. Иван хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или больше) так, чтобы длина каждого хоровода делилась на $3$, а при взгляде на любой хоровод сверху читалось бы по часовой стрелке АБВАБВ...АБВ. Докажите, что Иван может устроить бал ровно $(3n)!$ различными способами. (Цилиндры с одинаковыми буквами неразличимы; все гости различны.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 66734

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Теория игр (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Рокфеллер и Маркс играют в такую игру. Имеется  $n > 1$  городов, во всех одно и то же число жителей. Сначала у каждого жителя есть ровно одна монета (монеты одинаковы). За ход Рокфеллер выбирает по одному жителю из каждого города, а Маркс перераспределяет между ними их деньги произвольным образом с единственным условием, чтобы распределение не осталось таким, каким только что было. Рокфеллер выиграет, если в какой-то момент в каждом городе будет хотя бы один человек без денег. Докажите, что Рокфеллер может действовать так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл Маркс, если в каждом городе
  а) ровно $2n$ жителей;
  б) ровно  $2n - 1$  житель.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .