Версия для печати
Убрать все задачи

---

В равнобедренном треугольнике ABC  ∠B = 120°.  Найдите общую хорду описанной окружности треугольника ABC и окружности, проходящей через центр вписанной окружности и основания биссектрис углов A и C, если  AC = 1.

   Решение

---

В турнире по гандболу участвуют 20 команд. После того как каждая команда сыграла с каждой по разу, оказалось, что количество очков у всех команд разное. После того как каждая команда сыграла с каждой по второму разу, количество очков у всех команд стало одинаковым. В гандболе за победу команда получает 2 очка, за ничью 1 очко, за поражение — 0 очков. Верно ли, что найдутся две команды, по разу выигравшие друг у друга?

   Решение

---

Докажите следующий вариант формулы Бине:  

   Решение

---

Периметр треугольника $ABC$ равен 1. Окружность $\omega$ касается стороны $BC$, продолжения стороны $AB$ в точке $P$ и продолжения стороны $AC$ в точке $Q$. Прямая, проходящая через середины $AB$ и $AC$, пересекает описанную окружность треугольника $APQ$ в точках $X$ и $Y$. Найдите длину отрезка $XY$.

   Решение

---

На доске записаны числа 1, 2, 3, ..., 1000. Двое по очереди стирают по одному числу. Игра заканчивается, когда на доске остаются два числа. Если их сумма делится на 3, то побеждает тот, кто делал первый ход, если нет – то его партнер. Кто из них выиграет при правильной игре?

   Решение

---

Через две точки, лежащие в круге, провести окружность, лежащую целиком в том же круге.

   Решение

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ] [ Правильная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В правильной четырёхугольной пирамиде с высотой, не меньшей h , расположена полусфера радиуса 1 так, что её касаются все боковые грани пирамиды, а центр полусферы лежит на основании пирамиды. Найдите наименьшее возможное значение полной поверхности такой пирамиды.

Решение

Пусть O – центр основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды PABCD . Центр полусферы совпадает с точкой O , полусфера касается боковых граней в точках, лежащих на апофемах. Пусть M – середина стороны BC квадрата ABCD , K – точка касания полусферы с боковой гранью PBC . Тогда точка K лежит на отрезке PM , OK PM и OK=1 . Обозначим высоту PO пирамиды через x , сторону основания – a , угол боковой грани с плоскостью основания – α . Тогда

POK = PMO - α, OM = a.
Из прямоугольного треугольника POK находим, что cos α = = . Тогда sin α = = . Из прямоугольного треугольника KOM находим, что
= OM = = = .
тогда a= . Пусть S(x) – площадь полной поверхности пирамиды. Тогда
S(x) = a2+ = ()2+ ()2· x =

=+ = = .
Таким образом, задача сводится к нахождению наименьшего значения функции S(x)= на промежутке [h; +) , где h>1 . Найдём производную этой функции и её критические точки, принадлежащие данному промежутку:
S'(x) = 4· = .
Если h 2 , то на данном промежутке критических точек нет, производная на этом промежутке положительна, значит, функция возрастает. Следовательно, S_min =S(h) = . Если 1<h<2 , то на промежутке [h; +) есть одна критическая точка x=2 . При переходе через эту точку производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, точка x=2 – точка минимума. В этом случае S_min = S(2)=16 . Это и есть наименьшее значение S(x) на промежутке [h; +) при h 2 .

Ответ

Если h < 2 , то S_min = S(2)=16 ; если h 2 , то S_min =S(h) = .

Источники и прецеденты использования