|
|
 |
Условие
Натуральные числа x, y, z (x > 2, y > 1) таковы, что xy + 1 = z². Обозначим через p количество различных простых делителей числа x, через q – количество различных простых делителей числа y. Докажите, что p ≥ q + 2.
Решение
Имеем (z – 1)(z + 1) = xy, НОД(z – 1, z + 1) = 1 при нечётном x, НОД(z – 1, z + 1) = 2 при чётном x.
В первом случае z – 1 = uy, z + 1 = vy, где u, v ∈ N, отсюда vy – uy = 2. Но, поскольку v > u, y > 1, то
vy – uy = (v – u)(vy–1 + ... + uy–1) ≥ (v – u)(2y–1 + 1) ≥ 3. Противоречие: 2 ≥ 3.
Во втором случае одно из чисел z – 1 и
z + 1 чётно, но не делится на 4, а второе делится на 2y–1 и не делится на 2y. Таким образом, A = 2uy, B = 2y–1vy (u, v – нечётные натуральные числа), где A и B равны, в некотором порядке, числам z – 1 и z + 1 (при этом AB = xy). Итак, |2uy – 2y–1vy| = 2,
|uy – 2y–2vy| = 1. Отсюда, при некотором выборе знака, uy ± 1 = 2y–2vy.
Заметим, что u > 1. В самом деле, если u = 1, то A = 2 = z – 1, z = 3, x = 2, что противоречит условию. Кроме того, число y нечётно (в противном случае
y = 2n, z² – (xn)² = 1,
что невозможно.
Лемма 1. Пусть a ≥ 2, p – нечётное простое число. Тогда число ap – 1 имеет хотя бы один простой делитель, не являющийся делителем числа a – 1.
Доказательство. ap – 1 = (a – 1)(ap–1 + ap–2 + ... + a² + a + 1) = (a – 1)b.
Докажем вначале, что числа a – 1 и b не могут иметь общего делителя q, отличного от 1 и от p. Действительно, если a ≡ 1 (mod q), то b ≡ p (mod q). Поэтому b делится на q лишь при q = 1 или p.
Осталось доказать, что случай, когда b = pn и a – 1 делится на p невозможен. Поскольку b > p, достаточно доказать, что b не делится на p².
Если a = pαk + 1, где k не делится на p, то ap = (pαk + 1)p = 1 + pα+1k + ½ p(p – 1)p2αk² + ... = 1 + pα+1k + pα+2d, где d целое. Отсюда ap – 1 = pα+1(k + pd), bk = p(k + pd), то есть b делится на p и не делится на p².
Лемма 2. Пусть a ≥ 2, p – нечётное простое число и выполнено хотя бы одно из неравенств a ≠ 2 и p ≠ 3. Тогда ap + 1 имеет простой делитель, не являющийся делителем числа a + 1.
Доказательство. ap + 1 = (a + 1)(ap–1 – ap–2 + ... + a2 – a + 1) = (a + 1)b.
Как в лемме 1 доказывается, что числа a + 1 и b не могут иметь общего делителя r, отличного от 1 и от p.
Осталось доказать, что невозможен случай, когда b = pn, a + 1 делится на p.
Заметим, что b ≥ a2 – a + 1 ≥ a + 1 ≥ p. Из условий леммы следует, что среди неравенств этой цепочки есть строгие, то есть b > p. С другой стороны, как и в доказательстве леммы 1, можно получить, что число b не делится на p².
Из доказанных лемм следует, что правая часть равенства uy ± 1 = 2y–2vy имеет не менее q + 1 различных простых делителей. Поскольку НОД(u, 2v) = 1,
u > 1, получаем отсюда неравенство задачи.
Замечания
Фактически мы доказали следующее, более сильное
Предложение. Пусть число y разлагается в произведение n отличных от 1 натуральных чисел. Тогда x имеет не менее n + 2 различных простых делителей.
