Версия для печати
Убрать все задачи

---

Может ли быть верным равенство  К×О×Т = У×Ч×Е×Н×Ы×Й,  если в него вместо букв подставить цифры от 1 до 9? Разным буквам соответствуют разные цифры.

   Решение

---

а) Даны прямые a, b, c, d, проходящие через одну точку, и прямая l, через эту точку не проходящая. Пусть A, B, C, D — точки пересечения прямой l с прямыми a, b, c, d соответственно. Докажите, что (abcd )= (ABCD).
б) Докажите, что двойное отношение четверки точек сохраняется при проективных преобразованиях.

   Решение

---

Внутри выпуклого четырехугольника A₁A₂B₂B₁ нашлась такая точка C, что треугольники CA₁A₂ и CB₂B₁ – правильные. Точки C₁ и C₂ симметричны точке C относительно прямых A₂B₂ и A₁B₁ соответственно. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны.

   Решение

---

Даны прямоугольный треугольник ABC и две взаимно перпендикулярные прямые x и y, проходящие через вершину прямого угла A. Для точки X, движущейся по прямой x, определим y_b как образ прямой y при симметрии относительно XB, а y_c – как образ прямой y при симметрии относительно XC. Пусть y_b и y_с пересекаются в точке Y. Найдите геометрическое место точек Y (для несовпадающих y_b и y_с).

   Решение

---

Вася в ярости режет прямоугольный лист бумаги ножницами. Каждую секунду он разрезает первый попавшийся кусок случайным прямолинейным разрезом на две части.
  а) Найдите математическое ожидание числа сторон многоугольника, который случайно попадётся Васе через час такой работы.
  б) Решите эту же задачу, если вначале лист бумаги имел форму произвольного многоугольника.

   Решение

---

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки A до прямых BC, CD и DE равны соответственно a, b и c.
Найдите расстояние от вершины A до прямой BE.

   Решение

---

На плоскости даны прямая $l$ и точка $A$ вне ее. Найдите геометрическое место инцентров остроугольных треугольников с вершиной $A$, у которых одна сторона лежит на прямой $l$.

   Решение

---

У выпуклого многогранника 2n граней ( n 3 ), и все грани являются треугольниками. Какое наибольшее число вершин, в которых сходится ровно 3 ребра, может быть у такого многогранника?

   Решение

Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Объем призмы ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Плоскость, проходящая через ребро AD и середину E ребра BC тетраэдра ABCD , образует углы α и β с гранями ACD и ABD этого тетраэдра. Найдите объём тетраэдра, если известно, что AD = a , а площадь треугольника ADE равна S .

Решение

Достроим тетраэдр ABCD до треугольной призмы ABCDB1C1 (рис.1) ( AD || BB1 || CC1) . Через точку E проведём плоскость, перпендикулярную AD . Пусть эта плоскость пересекает прямые AD , BB1 и CC1 в точках M , P и Q соответственно. Тогда PQM – перпендикулярное сечение призмы ABCDB1C1 , точка E – середина PQ , EMQ = α , EMP = β . Объём призмы ABCDB1C1 равен произведению площади перпендикуляного сечения на боковое ребро, а объём пирамиды ABCD составляет треть объёма призмы. В треугольнике PQM (рис.2) известна медиана ME = = и углы, которые она образует со сторонами MQ и MP . На продолжении этой медианы за точку E отложим отрезок EN , равный ME . По теореме синусов из треугольника MPN находим, что

PM = = · .
Поэтому
S_{Δ PQM} = S_{Δ MPN} = PM· MN sin β = · · .
Следовательно,
V_ABCD = V_ABCDB1C1 = · · · a = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования