|
|
 |
Условие
В остроугольный треугольник вписана окружность радиуса R. К окружности проведены три касательные, разбивающие треугольник на три прямоугольных треугольника и шестиугольник. Периметр шестиугольника равен Q. Найдите сумму диаметров окружностей, вписанных в прямоугольные треугольники.
Решение 1
Точки касания вписанной окружности со сторонами шестиугольника и его вершины разбивают его периметр на 12 частей, при этом шесть выходят из вершин прямых углов, а шесть – из вершин тупых (назовём эти последние части важными). Длины всех не важных частей равны R (HN = HL = R, так как INHL – квадрат со стороной R), поэтому сумма длин шести важных частей равна Q – 6R. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников CGH (H – вершина прямого угла, на какой из сторон треугольника ABC она расположена нам неважно). Касательные, проведённые из точки H, обозначим HL и HN, а касательные из точки G – GK и GN.
Повторив аналогичные вычисления для остальных треугольников, получим, что искомая сумма диаметров равна сумме длин шести важных частей периметра, то есть Q – 6R.
Решение 2
Сумма трёх сторон описанного шестиугольника, взятых через одну, очевидно равна сумме остальных трёх сторон. Отсюда и из задачи 55484 сразу следует, что сумма радиусов окружностей, "вписанных в прямоугольные треугольники", плюс 3R равна Q/2. Значит, сумма их диаметров равна Q – 6R.
Ответ
Q – 6R.
Замечания
6 баллов
