|
|
 |
Условие
Найти целые решения уравнения x²y = 10000x + y.
Решение
10000x = y(x² – 1). Так как
x и x² – 1 взаимно просты, то 10000 делится на x² – 1.
Если x нечётно, то x² – 1 = (x – 1)(x + 1) делится на 8 как произведение двух последовательных чётных чисел. Если же x чётно, то x² – 1 нечётно, и, следовательно, должно равняться степени пятёрки с некоторым знаком. x – 1 и x + 1 одновременно не могут делиться на 5, следовательно, x – 1 = ±1 или x + 1 = ±1. Проверяя эти варианты, находим решение x = 0. Тогда и y = 0.
Осталось рассмотреть все делители 10000, делящиеся на 8, и проверить,
какие из них можно представить в виде x² – 1. Всего таких делителей 10: 2³, 24, 5·2³, 5·24, 5²·2³, 52·24, 5³·2³, 53·24, 54·23, 54·24. Среди них подходят только 8 и 80. Это даёт ещё четыре решения: (±3, ±3750) и (±9, ±1125).
Ответ
(–9, –1125), (–3, –3750), (0, 0), (3, 3750), (9, 1125).
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Белорусские республиканские математические олимпиады |
| олимпиада | |
| Год | 1963 |
| Номер | 13 |
| Название | 13-я Белорусская республиканская математическая олимпиада |
| неизвестно | |
| Название | Задача 9.4 |
