Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 134]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108965

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Арифметика. Устный счет и т.п. ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8

Моторная лодка в 9 ч отправилась вверх по течению реки, и в момент её отправления с лодки был брошен в реку мяч. В 9 ч 15 мин лодка повернула и поплыла по течению. В котором часу лодка догонит мяч, если известно, что её собственная скорость оставалась неизменной?

Решение

Задача решается проще без составления уравнения. Скорость течения реки можно не учитывать, так как она одинаково влияет как на движение лодки, так и на движение мяча. Поэтому расстояние между лодкой и мячом изменяется только со скоростью самой лодки. Поскольку лодка 15 мин удалялась от мяча, то она догонит его через 15 мин после того, как она повернула назад, т.е. в 9 ч 30 мин.

Ответ

в 9 ч 30 мин.

Прислать комментарий

---

Задача 108743

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Доказать, что остаток от деления простого числа на 30 - простое число или единица.

Решение

Представим простое число P в виде P=30K+R, где R может быть одним из чисел от 1 до 29. Из этой записи сразу видно, что остаток R не может быть кратен 2, 3 или 5, так как тогда P делилось бы на 2, 3 или 5. После исключения этих чисел во множестве остатков от деления на число 30 остаются лишь простые числа (7, 11, 13, 17, 19, 23, 29) и единица.

Прислать комментарий

---

Задача 109146

Тема:   [ Неравенство Коши ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9,10

Найти наименьшее значение выражения x+1/(4x) при положительных значениях x .

Решение

x+1/4x=(x+(1/4)/x-1)+1=(x²-x+1/4)/x+1=((x-1/2)²)/x+1.
Из этого выражения видно, что при положительных значениях переменной x оно всегда больше единицы, за исключением значения x=1/2 , когда выражение принимает значение 1, которое и будет минимальным значением выражения при положительных x .

Ответ

1.00

Прислать комментарий

---

Задача 109181

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Найти четыре последовательных числа, произведение которых равно 1680.

Решение

Искомые числа можно подобрать, используя чисто арифметические соображения: числа могут быть только однозначными, произведение их делится на 10, следовательно, одно из чисел равно 5. Далее, из того, что произведение должно делиться на 3 и на 4, находим остальные числа. Можно составить уравнение (x-2)(x-1)x(x+1)=1680 , которое приводим к виду (x(x-1)-1)²=1681 . Это уравнение распадается на два квадратных, одно из них имеет мнимые корни, а второе – x₁=-6, x₂=7 .

Ответ

1) 5, 6, 7, 8;;;2) -8, -7, -6, -5 .

Прислать комментарий

---

Задача 108982

Тема:   [ Задачи на движение ]

Сложность: 3- Классы: 7,8

Два совершенно одинаковых катера, имеющих одинаковую скорость в стоячей воде, проходят по двум различным рекам одинаковое расстояние (по течению) и возвращаются обратно (против течения). В какой реке на эту поездку потребуется больше времени: в реке с быстрым течением или в реке с медленным течением? Ответ обосновать.

Решение

Пусть скорость катеров v км/ч, скорость течения в первой реке v₁ км/ч, а скорость течения во второй реке v₂ км/ч. Пусть v₁>v₂ . Если обозначить расстояние, проходимое в одном направлении катерами, через S , то время, затраченное первым катером на весь путь,

t₁=S/(v+v₁)+S/(v-v₁)=2Sv/(v²-v₁²),
а время, затраченное вторым катером, t₂=2Sv/(v²-v₂²) . Поскольку числители у обоих выражений одинаковы, то большей будет дробь с меньшим знаменателем, а так как знаменатели есть разности с равными уменьшаемыми, то знаменатель меньше у первой дроби, у которой вычитаемое v₁² больше.

Ответ

больше времени потребуется на поездку в реке с более быстрым течением.

Прислать комментарий

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 134]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями