Каталог по темам

Задачи

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 73]

Задача 108214

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Агаханов Н.Х.

Каждую сторону выпуклого четырёхугольника продолжили в обе стороны и на всех восьми продолжениях отложили равные между собой отрезки. Оказалось, что получившиеся восемь точек – внешние концы построенных отрезков – различны и лежат на одной окружности. Докажите, что исходный четырёхугольник – квадрат.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56790

Темы:	[	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Периметр треугольника	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Ионин Ю.И.

а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.
б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 55671

Темы:	[	Симметрия и построения	]
	[	Композиции симметрий	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Из центра O окружности проведены n прямых (n — нечётно). С помощью циркуля и линейки постройте вписанный в окружность n-угольник, для которого данные прямые являются серединными перепендикулярами к n его сторонам.

Прислать комментарий Решение

Задача 79272

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Гомотетичные многоугольники	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Итерации	]
	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Лемма о вложенных отрезках	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

Прислать комментарий Решение

Задача 101893

Темы:	[	Диаметр, основные свойства	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Пятиугольники	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Найдите её длину, если BC = CE, площадь треугольника ADE равна площади треугольника CDE, площадь треугольника ABC равна площади треугольника BCD, а 3AC + 2BD = 5 $\sqrt{5}$ .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 73]