Страница:
<< 8 9 10 11
12 13 14 >> [Всего задач: 498]
|
|
Сложность: 3+ Классы: 9,10,11
|
В остроугольном треугольнике $ABC$ ($AC>AB$ ) провели биссектрису $AK$ и медиану $AT$, последнюю продлили до пересечения с описанной окружностью треугольника в точке $D$. Точка $F$ симметрична $K$ относительно $T$. Даны углы треугольника $ABC$, найдите угол $FDA$.
|
|
Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11
|
Прямая $\ell$, параллельная стороне $BC$ треугольника $ABC$, касается его вписанной окружности и пересекает его описанную окружность в точках $D$ и $E$. Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что $AI^2 = AD\cdot AE$.
Продолжения высот остроугольного треугольника ABC
пересекают описанную окружность в точках A1, B1 и C1
соответственно. Докажите, что биссектрисы треугольника
A1B1C1
лежат на прямых AA1, BB1, CC1.
Четыре точки окружности следуют в порядке: A, B, C, D.
Продолжение хорды AB за точку B и хорды CD за точку C
пересекаются в точке E, причём угол AED равен
60o.
Угол ABD в три раза больше угла BAC. Докажите, что AD —
диаметр окружности.
Дано
n окружностей:
O1,
O2,...
On, проходящих через одну точку
O.
Вторые точки пересечения
O1 с
O2,
O2 с
O3,...,
O3 с
O1
обозначим соответственно через
A1,
A2,...,
An. На
O1 берем
произвольную точку
B1. Если
B1 не совпадает с
A1, то проводим через
B1 и
A1 прямую до второго пересечения с
O2 в точке
B2. Если
B2
не совпадает с
A2, то проводим через
B2 и
A2 прямую до второго
пересечения с
O3 в точке
B3. Продолжая таким образом, мы получим точку
Bn на окружности
On. Если
On не совпадает с
An, то проводим
через
Bn и
An прямую до второго пересечения с
O1 в точке
Bn + 1.
Докажите, что
Bn + 1 совпадает с
B1.
Страница:
<< 8 9 10 11
12 13 14 >> [Всего задач: 498]