Версия для печати
Убрать все задачи

---

В папирусе Ринда (Древний Египет) среди прочих сведений содержатся разложения дробей в сумму дробей с числителем 1, например,
²/₇₃ = ¹/₆₀ + ¹/₂₁₉ + ¹/₂₉₂ + ¹/_x. Один из знаменателей здесь заменён буквой x. Найдите этот знаменатель.

   Решение

---

Если Конек-Горбунок не будет семь суток есть, или спать, то лишится волшебной силы. Допустим, он в течение недели не ел и не спал. Что он должен сделать в первую очередь к концу седьмых суток — поесть или поспать, чтобы не потерять силу?

   Решение

---

Пусть характеристическое уравнение (11.3 ) последовательности (11.2) имеет комплексные корни x_{1, 2} = a±ib = re^±i. Докажите, что для некоторой пары чисел c₁, c₂ будет выполняться равенство

   Решение

---

Докажите, что каково бы ни было целое число n, среди чисел n,  n + 1,  n + 2,  n + 3,  n + 4  есть хотя бы одно число взаимно простое с остальными четырьмя из этих чисел.

   Решение

---

Найдите наибольший возможный объём цилиндра, вписанного в конус, высота которого равна 27 и радиус основания равен 9.

   Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 238]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111618

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC выбраны точки P, Q, R соответственно таким образом, что  AP = CQ  и четырёхугольник RPBQ – вписанный. Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках A и C пересекают прямые RP и RQ в точках X и Y соответственно. Докажите, что  RX = RY.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115298

Тема:   [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки X и Y так, что  AX = BY  и при этом  ∠XYB = ∠BAC.  Точка B₁ – основание биссектрисы угла B. Докажите, что прямые XB₁ и YC параллельны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115339

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Пятиугольники ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Пятиугольник ABCDE описан около окружности Ω. Сторона BC касается окружности s в точке K. Известно, что  AB = BC = CD.
Докажите, что  ∠EKB = 90°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115656

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Средняя линия треугольника ] [ Четырехугольники (прочее) ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD взята такая точка P, что  ∠PBA = ∠PCD = 90°.  Точка M – середина стороны AD, причём  BM = CM.
Докажите, что  ∠PAB = ∠PDC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115677

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Дан треугольник ABC. Точки A₁ и A₂ делят на три равные части сторону AC, а точки B₁ и B₂ – сторону BC.
Докажите, что если углы A₁BA₂ и B₁AB₂ равны, то треугольник ABC равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 238]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями