Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан остроугольный треугольник $ABC$. Точки $A_0$ и $C_0$ – середины меньших дуг соответственно $BC$ и $AB$ его описанной окружности. Окружность, проходящая через $A_0$ и $C_0$, пересекает прямые $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $S$, $Q$ и $R$ соответственно (все эти точки различны). Известно, что $PQ\parallel AC$. Докажите, что $A_0P+C_0S=C_0Q+A_0R$

   Решение

---

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

   Решение

---

Сто сидений карусели расположены по кругу через равные промежутки. Каждое покрашено в жёлтый, синий или красный цвет. Сиденья одного и того же цвета расположены подряд и пронумерованы 1, 2, 3, ... по часовой стрелке. Синее сиденье № 7 противоположно красному № 3, а жёлтое № 7 — красному № 23. Найдите, сколько на карусели жёлтых сидений, сколько синих и сколько красных.

   Решение

---

Длины сторон треугольника ABC не превышают 1.
Докажите, что  p(1 – 2Rr) ≥ 1,  где p – полупериметр, R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

   Решение

---

Банк обслуживает миллион клиентов, список которых известен Остапу Бендеру. У каждого есть свой PIN-код из шести цифр, у разных клиентов коды разные. Остап Бендер за один ход может выбрать любого клиента, которого он еще не выбирал, и подсмотреть у него цифры кода на любых N позициях (у разных клиентов он может выбирать разные позиции). Остап хочет узнать код миллионера Корейко. При каком наименьшем N он гарантированно сможет это сделать?

   Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 238]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 107757

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Две окружности пересекаются в точках A и B. В точке A к обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках M и N. Прямые BM и BN пересекают окружности еще раз в точках P и Q (P – на прямой BM, Q – на прямой BN). Докажите, что отрезки MP и NQ равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108120

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В треугольнике ABC на сторонах AC и BC взяты соответственно точки X и Y, причём  ∠ABX = ∠YAC,  ∠AYB = ∠BXC,  XC = YB.
Найдите углы треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108665

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Четырехугольники (прочее) ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD равны. Кроме того,  ∠BAC = ∠ADB,  ∠CAD + ∠ADC = ∠ABD.  Найдите угол BAD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108930

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Ромбы. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Пусть AL – биссектриса треугольника ABC. Через вершины B и C проведены параллельные прямые b и c, равноудалённые от вершины A. На прямых b и c выбраны соответственно такие точки M и N, что отрезки LM и LN пересекаются со сторонами соответственно AB и AC и делятся ими пополам.
Докажите, что  LM = LN.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108958

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В треугольнике ABC известно, что  BC = 2AC.  На стороне BC выбрана точка D, для которой  ∠CAD = ∠B. Прямая AD пересекает биссектрису внешнего угла при вершине C в точке E. Докажите, что  AE = AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 238]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями