Фильтр
Выбрано 5 задач Убрать все задачи
Ищем верное утверждение. В тетради написано сто утверждений:
1) В этой тетради ровно одно ложное утверждение.
2) В этой тетради ровно два ложных утверждения.
...
100) В этой тетради ровно сто ложных утверждений.
Какое из этих утверждений верно, если известно, что только одно верное?
РешениеЧерез точку пересечения высот остроугольного треугольника ABC проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.
РешениеВ прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^{\circ}$) вписанная окружность касается катета $BC$ в точке $K$. Докажите, что хорда вписанной окружности, высекаемая прямой $AK$ в два раза больше, чем расстояние от вершины $C$ до этой прямой.
РешениеПусть $AM$ – медиана неравнобедренного треугольника $ABC$, $T$ – точка касания вписанной окружности $\omega$ со стороной $BC$, $S$ – вторая точка пересечения $\omega$ с отрезком $AT$. Докажите, что вписанная окружность треугольника $\delta$, образованного прямыми $AM$, $BC$ и касательной к $\omega$ в точке $S$, касается описанной окружности треугольника $ABC$.
РешениеВ зале стоят шесть стульев в два ряда – по три стула в каждом, один ряд ровно за другим. В зал пришли шесть человек различного роста.
Сколькими способами можно рассадить их так, чтобы каждый человек, сидящий в первом ряду, был ниже человека, сидящего за ним?
Решение
Задачи
Задача 65185 |
|
|
Прямоугольный параллелепипед размером m×n×k разбит на единичные кубики. Сколько всего образовалось параллелепипедов (включая исходный)?
|
|
Решение |
Задача 66350 |
|
|
В зале стоят шесть стульев в два ряда – по три стула в каждом, один ряд ровно за другим. В зал пришли шесть человек различного роста.
Сколькими способами можно рассадить их так, чтобы каждый человек, сидящий в первом ряду, был ниже человека, сидящего за ним?
|
|
|
Решение |
Задача 108413 |
|
|
Фабрика игрушек выпускает проволочные кубики, в вершинах которых расположены маленькие разноцветные шарики. По ГОСТу в каждом кубике должны быть использованы шарики всех восьми цветов (белого и семи цветов радуги). Сколько разных моделей кубиков может выпускать фабрика?
|
|
|
Решение |
Задача 66861 |
|
|
К Ивану на день рождения пришли 2$N$ гостей. У Ивана есть $N$ чёрных и $N$ белых цилиндров. Он хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или несколько) так, чтобы в каждом хороводе было хотя бы два человека и люди в цилиндрах одного цвета не стояли в хороводе рядом. Докажите, что Иван может устроить бал ровно $(2N)!$ различными способами. (Цилиндры одного цвета неразличимы; все гости различимы.)
|
|
|
Решение |
Задача 74200 |
|
|
Световое табло состоит из нескольких ламп, каждая из которых может находиться в двух состояниях (гореть или не гореть). На пульте несколько кнопок, при нажатии каждой из которых одновременно меняется состояние некоторого набора ламп (для каждой кнопки – своего). Вначале лампы не горят.
а) Докажите, что число различных узоров, которые можно получить на табло, – степень двойки.
б) Сколько различных узоров можно получить на табло, состоящем из mn лампочек, расположенных в форме прямоугольника размером m×n, если кнопками можно переключить как любой горизонтальный, так и любой вертикальный ряд ламп?
|
|
|
Решение |
Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 157]
