ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Алгебра и арифметика >> Последовательности >> Рекуррентные соотношения
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

В музее Гугенхайм в Нью-Йорке есть скульптура, имеющая форму куба. Жук, севший на одну из вершин, хочет как можно быстрее осмотреть скульптуру, чтобы перейти к другим экспонатам (для этого достаточно попасть в противоположную вершину куба). Какой путь ему выбрать?

Вниз   Решение

Автор: Кузнецов А.

Окружность ω описана около остроугольного треугольника ABC. На стороне AB выбрана точка D, а на стороне BC – точка E так, что  DE || AC.  Точки P и Q на меньшей дуге AC окружности ω таковы, что  DP || EQ.  Лучи QA и PC пересекают прямую DE в точках X и Y соответственно. Докажите, что  ∠XBY + ∠PBQ = 180°.

ВверхВниз   Решение

Найдите объём правильной треугольной пирамиды, боковые рёбра которой, наклонены к плоскости основания под углом α и удалены от середины противоположной стороны основания на расстояние l .

ВверхВниз   Решение

В пирамиде ABCD двугранные углы с рёбрами AB , BC и CA равны α1 , α2 и α3 соответственно, а площади треугольников ABD , BCD и CAD равны соответственно S1 , S2 и S3 . Площадь треугольника ABC равна S . Докажите, что S = S1 cos α1 + S2 cos α2 + S3 cos α3 (некоторые из углов α1 , α2 и α3 могут быть тупыми).

ВверхВниз   Решение

Докажите, что число Фибоначчи Fn совпадает с ближайшим целым числом к $ {\dfrac{\varphi^n}{\sqrt5}}$, то есть

Fn = $\displaystyle \left[\vphantom{\dfrac{\varphi^n}{\sqrt5}+\dfrac{1}{2}}\right.$$\displaystyle {\dfrac{\varphi^n}{\sqrt5}}$ + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\dfrac{\varphi^n}{\sqrt5}+\dfrac{1}{2}}\right]$.


Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 233]      

  с решениями  

Задача 60579

Темы:   [ Числа Фибоначчи ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите следующий вариант формулы Бине:  

Прислать комментарий     Решение

Задача 60580

Тема:   [ Числа Фибоначчи ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите, что число Фибоначчи Fn совпадает с ближайшим целым числом к $ {\dfrac{\varphi^n}{\sqrt5}}$, то есть

Fn = $\displaystyle \left[\vphantom{\dfrac{\varphi^n}{\sqrt5}+\dfrac{1}{2}}\right.$$\displaystyle {\dfrac{\varphi^n}{\sqrt5}}$ + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\dfrac{\varphi^n}{\sqrt5}+\dfrac{1}{2}}\right]$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 60586

Тема:   [ Числа Фибоначчи ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

В вершинах правильных многоугольников записываются числа 1 и 2. Сколько существует таких многоугольников, что сумма чисел, стоящих в вершинах, равна n ( n $ \geqslant$ 3)? Две расстановки чисел, которые можно совместить поворотом, не отождествляются.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61483

Темы:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]
[ Тригонометрия (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Пусть характеристическое уравнение (11.3 ) последовательности (11.2) имеет комплексные корни x1, 2 = a±ib = re±i$\scriptstyle \varphi$. Докажите, что для некоторой пары чисел c1, c2 будет выполняться равенство

an = rn(c1cos n$\displaystyle \varphi$ + c2sin n$\displaystyle \varphi$).


Прислать комментарий     Решение

Задача 78286

Темы:   [ Числа Фибоначчи ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Системы счисления (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Доказать, что любое натуральное число можно представить в виде суммы нескольких различных членов последовательности 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., an = an - 1 + an - 2,....
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 233]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .