Каталог по темам

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 4330]

Задача 60463

Тема:

[

Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители

]

Сложность: 2-
Классы: 5,6,7

Разложите на простые множители числа 111, 1 111, 11 111, 111 111, 1 111 111.

Ответ

111 = 3^.37; 1 111 = 11^.101; 11 111 = 41^.271; 111 111 = 3^.7^.11^.13^.37; 1 111 111 = 239^.4649.

Прислать комментарий

Задача 87981

Тема:

[

Десятичная система счисления

]

Сложность: 2-
Классы: 5,6,7

Попробуйте найти все натуральные числа, которые больше своей последней цифры в 5 раз.

Подсказка

Подумайте, чему может быть равна последняя цифра искомого числа.

Решение

При умножении на 5 последняя цифра не изменилась, значит, она была 0 или 5. Если бы последняя цифра была 0, то всё число было бы 0, а мы ищем натуральные числа. Значит, последняя цифра была 5. А всё число 25. Естественно, больше 25 это число быть не может, поскольку оно в 5 раз больше цифры, т.е. не может превышать 45.

Ответ

25.

Прислать комментарий

Задача 87992

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
Темы:	[	Перебор случаев	]

Сложность: 2-
Классы: 5,6,7

Одно трехзначное число состоит из различных цифр, следующих в порядке возрастания, а в его названии все слова начинаются с одной и той же буквы. Другое трехзначное число, наоборот, состоит из одинаковых цифр, но в его названии все слова начинаются с разных букв. Какие это числа?

Подсказка

Заметьте, "числа равны" и "числа начинаются с одной и той же буквы" — это два совершенно разных утверждения.

Решение

Эти числа, соответственно, 147 и 111. Задача решается простым перебором вариантов, которых не так уж много.

Ответ

147 и 111.

Прислать комментарий

Задача 88027

Тема:

[

Делимость чисел. Общие свойства

]

Сложность: 2-
Классы: 5,6,7

Как вы думаете, среди четырех последовательных натуральных чисел будет ли хотя бы одно делиться на 2? А на 3? А на 4? А на 5?

Подсказка

Обратите внимание на остатки от деления каждого из этих чисел на 2, на 3 и т.д.

Решение

Сначала рассмотрим вопрос о делимости на 4. При делении на 4 возможны четыре разных остатка: 0, 1, 2 или 3. Если первое из чисел даёт остаток 0, то оно кратно 4. Если оно даёт остаток 1, то последнее число кратно 4. Если оно даёт остаток 2, то третье число кратно 4. И, если оно даёт остаток 3, то второе число кратно 4. О делимости на 2 и 3. Рассуждая так же, как в случае делимости на 4, придём к выводу, что в обоих случаях найдётся кратное число. Теперь о делимости на 5. Если первое число даёт при делении на 5 остаток 1, то ни одно из четырех чисел не будет кратно 5 (например, если эти числа 21, 22, 23, 24). Итак, обязательно найдутся числа, кратные 2, 3, 4, но может не найтись числа, кратного 5.

Ответ

Да. Да. Да. Не всегда.

Прислать комментарий

Задача 88045

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
Темы:	[	Шестиугольники	]

Сложность: 2-
Классы: 5,6,7

Заполните свободные клетки "шестиугольника" (см. рисунок) целыми числами от 1 до 19, чтобы во всех вертикальных и диагональных рядах сумма чисел, стоящих в одном ряду, была бы одна и та же.

Подсказка

Попробуйте определить сумму чисел в ряду, тогда вы сможете расставить по местам несколько чисел. Затем попробуйте определить, какое число стоит в центральной клетке.

Решение

Поскольку один из рядов таблицы заполнен, то можно определить сумму ряда — она равна 38. Теперь можно расставить числа во многих клетках. Осталось 7 пустых клеток, в которых должны быть расположены числа 4, 5, 6, 8, 13, 14, 15. Рассмотрим диагональ, на которой расположены числа 10, 1, 18.

Две пустые клетки на ней должны занимать два числа с суммой 9. Это могут быть только 4 и 5. Теперь рассмотрим ту диагональ, на которой расположены числа 16, 2, 9. Две пустые клетки на ней должны занимать два числа с суммой 11. Это могут быть только 5 и 6. Значит, в центре стоит 5, а вторые числа на диагоналях — соответственно 4 и 6. Теперь уже можно однозначно заполнить всю таблицу.

Ответ

См. рисунок справа.

Прислать комментарий

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 4330]