Подтемы:
-
Числа Фибоначчи
(71 задача)
Линейные рекуррентные соотношения
(36 задач)
Рекуррентные соотношения (прочее)
(112 задач)
Фильтр
Выбрано 7 задач Убрать все задачи
В музее Гугенхайм в Нью-Йорке есть скульптура, имеющая форму куба. Жук, севший на одну из вершин, хочет как можно быстрее осмотреть скульптуру, чтобы перейти к другим экспонатам (для этого достаточно попасть в противоположную вершину куба). Какой путь ему выбрать?
РешениеОкружность ω описана около остроугольного треугольника ABC. На стороне AB выбрана точка D, а на стороне BC – точка E так, что DE || AC. Точки P и Q на меньшей дуге AC окружности ω таковы, что DP || EQ. Лучи QA и PC пересекают прямую DE в точках X и Y соответственно. Докажите, что ∠XBY + ∠PBQ = 180°.
РешениеНайдите объём правильной треугольной пирамиды, боковые рёбра которой, наклонены к плоскости основания под углом α и удалены от середины противоположной стороны основания на расстояние l .
РешениеВ пирамиде ABCD двугранные углы с рёбрами AB , BC и CA равны α1 , α2 и α3 соответственно, а площади треугольников ABD , BCD и CAD равны соответственно S1 , S2 и S3 . Площадь треугольника ABC равна S . Докажите, что S = S1 cos α1 + S2 cos α2 + S3 cos α3 (некоторые из углов α1 , α2 и α3 могут быть тупыми).
РешениеДокажите, что число Фибоначчи Fn совпадает с ближайшим целым числом к
РешениеЧисла от 1 до 37 записали в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится на следующее за ними число.
Какое число стоит на третьем месте, если на первом месте написано число 37, а на втором – 1?
РешениеКакой остаток даёт x + x³ + x9 + x27 + x81 + x243 при делении на x – 1?
Решение
Задачи
Задача 61462 |
|
|
| a) a0 = 0, a1 = 1, an + 2 = 5an + 1 - 6an; |
| б) a0 = 1, a1 = 1, an + 2 = 3an + 1 - 2an; |
| в) a0 = 1, a1 = 1, an + 2 = an + 1 + an; |
| г) a0 = 1, a1 = 2, an + 2 = 2an + 1 - an; |
| д) a0 = 0, a1 = 1, an + 2 = 2an + 1 + an. |
|
|
Решение |
Задача 61463 |
|
|
При возведении числа 1 + в различные степени, можно обнаружить некоторые закономерности:
(1 + )1 = 1 +
=
+
, (1 +
)2 = 3 + 2
=
+
, (1 +
)3 = 7 + 5
=
+
, (1 +
)4 = 17 + 12
=
+
.
Для их изучения определим числа an и bn при помощи равенства (1 + )n = an + bn
, (n ≥ 0).
а) Выразите через an и bn число (1 – )n.
б) Докажите равенство
в) Каким рекуррентным уравнениям удовлетворяют последовательности
{an} и {bn}?
г) Пользуясь пунктом а), найдите формулы n-го члена для
последовательностей {an} и {bn}.
д) Найдите связь между числами an, bn и подходящими дробями к числу .
|
|
|
Решение |
Задача 61469 |
|
|
Разложите функции и
(n ≥ 1) в цепные дроби.
Определения многочленов Фибоначчи Fn(x) и Люка Ln(x) смотри, например, здесь.
|
|
|
Решение |
Задача 61470 |
|
|
Получите формулу для многочленов Фибоначчи и Люка, аналогичную формуле Бине (см. задачи 60578 и 60587).
Определения многочленов Фибоначчи и Люка смотри здесь.
|
|
|
Решение |
Задача 61471 |
|
|
Докажите, что многочлены Фибоначчи и Люка связаны с многочленами Чебышёва
равенствами
Un(x/2) = i–nFn+1(ix); 2Tn(x/2) = i–nLn(ix).
Про многочлены Фибоначчи, Люка и Чебышёва смотри в справочнике.
|
|
|
Решение |
Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 233]
