Версия для печати
Убрать все задачи
Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по ненулевому числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?
Решение
В остроугольном треугольнике $ABC$ ($AB$<$BC$) провели
высоту $BH$. Точка $P$ симметрична точке $H$ относительно прямой,
соединяющей середины сторон $AC$ и $BC$. Докажите, что прямая $BP$
содержит центр описанной окружности треугольника $ABC$.
Решение
Шесть кругов с радиусами, равными 1, расположены на плоскости так, что расстояние между центрами любых двух из них больше $d$. При каком наименьшем $d$ можно утверждать, что найдется прямая, не пересекающая ни одного из кругов, по каждую сторону от которой лежат три круга?
Решение
Рассмотрим различные прямоугольники периметра 10, лежащие внутри квадрата со стороной 10. Чему равна наибольшая возможная площадь закрашенной звёздочки (см. рисунок)? Ответ округлите до двух знаков после запятой.
Решение
Даны два натуральных числа
a и
b, не равные нулю
одновременно. Вычислить
НОД(a,b) — наибольший общий
делитель
а и
b.
Решение
В центре прямоугольного биллиардного стола длиной 3 м и шириной 1 м стоит биллиардный шарик. По нему ударяют кием в случайном направлении. После удара шар
останавливается, пройдя ровно 2 м. Найдите ожидаемое число отражений от бортиков стола.
Решение
Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал сумму чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица сложения"). Какое наибольшее количество сумм в этой таблице могли оказаться рациональными числами?
Решение
В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°, AM и CN – его высоты, а Q – середина стороны AC.
Докажите, что треугольник MNQ – равносторонний.
Решение
В каком из выражений: (1 – x² + x³)1000, (1 + x² – x³)1000 после раскрытия скобок и приведения подобных членов больший коэффициент при x20?
Решение
Докажите следующие свойства чисел Фибоначчи:
| а) F1 + F2 +...+ Fn = Fn + 2 - 1; |
в) F2 + F4 +...+ F2n = F2n + 1 - 1; |
| б) F1 + F3 +...+ F2n - 1 = F2n; |
г) F12 + F22 +...+ Fn2 = FnFn + 1. |
Решение
Фильтр
