Задача 76209

Темы:    [ Знакомство с циклами ] [ Задачи с целыми числами ] [ НОД и НОК. Алгоритм Евклида ]

Сложность: 2- Классы:

Условие

Даны два натуральных числа a и b, не равные нулю одновременно. Вычислить НОД(a,b) — наибольший общий делитель а и b.

Решение

Вариант 1.

        if a > b then begin
        | k := a;
        end else begin
        | k := b;
        end;
        {k = max (a,b)}
        {инвариант: никакое  число, большее k, не является
          общим делителем}
        while not ((a mod k = 0) and (b mod k = 0)) do begin
        | k := k - 1;
        end;
        {k - общий делитель, большие - нет}

Вариант 2 (алгоритм Евклида). Будем считать, что НОД(0,0)=0. Тогда НОД(a,b) = НОД(a-b,b) = НОД(a,b-a); НОД(a,0) = НОД(0,a) = a для всех a,b≥0.

         m := a; n := b;
        {инвариант: НОД (a,b) = НОД (m,n); m,n >= 0 }
        while not ((m=0) or (n=0)) do begin
        | if m >= n then begin
        | | m := m - n;
        | end else begin
        | | n := n - m;
        | end;
        end;
        {m = 0 или n = 0}
        if m = 0 then begin
        | k := n;
        end else begin {n = 0}
        | k := m;
        end;

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	А.Шень
Название	Программирование: теоремы и задачи
Издательство	МЦНМО
Издание	второе
Год издания	2004
глава
Номер	1
Название	Переменные, выражения, присваивания
параграф
Номер	1
Название	Задачи без массивов
задача
Номер	1.1.13