Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что три прямые, проведённые через середины сторон треугольника параллельно биссектрисам противолежащих углов, пересекаются в одной точке.

   Решение

---

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

   Решение

---

Дан четырёхугольник ABCD. Его противоположные стороны AB и CD пересекаются в точке K. Его диагонали пересекаются в точке L. Известно, что прямая KL проходит через центр тяжести вершин четырёхугольника ABCD. Докажите, что ABCD – трапеция.

   Решение

---

В турнире по волейболу, прошедшем в один круг, 20% всех команд не выиграли ни одной игры. Сколько было команд?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 223]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111317

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 2 Классы: 5,6,7

Зайчиха купила для своих семерых зайчат семь барабанов разных размеров и семь пар палочек разной длины. Если зайчонок видит, что у него и барабан больше, и палочки длиннее, чем у кого-то из братьев, он начинает громко барабанить. Какое наибольшее число зайчат сможет начать барабанить?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 34869

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Маляр-хамелеон ходит по клетчатой доске как хромая ладья (на одну клетку по вертикали или горизонтали). Попав в очередную клетку, он либо перекрашивается в её цвет, либо перекрашивает клетку в свой цвет. Белого маляра-хамелеона кладут на чёрную доску размером 8×8 клеток. Сможет ли он раскрасить её в шахматном порядке?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35417

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Числовые таблицы и их свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

На небе бесконечное число звёзд. Астроном приписал каждой звезде пару натуральных чисел, выражающую яркость и размер. При этом каждые две звезды отличаются хотя бы в одном параметре. Докажите, что найдутся две звезды, первая из которых не меньше второй как по яркости, так и по размеру.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58075

Тема:   [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Можно ли на плоскости расположить 1000 отрезков так, чтобы каждый отрезок обоими концами упирался строго внутрь других отрезков?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78507

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Уравнения в целых числах ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Доказать, что не существует попарно различных натуральных чисел x, y, z, t, для которых было бы справедливо соотношение  x^x + y^y = z^z + t^t.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 223]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями