Каталог по темам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 220]

Задача 65467

Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]
Темы:	[	Полуинварианты	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Евдокимов М.А.

У Деда Мороза было n сортов конфет, по k штук каждого сорта. Он распределил все конфеты как попало по k подаркам, в каждый – по n конфет, и раздал их k детям. Дети решили восстановить справедливость. Два ребёнка готовы передать друг другу по конфете, если каждый получает конфету сорта, которого у него нет. Всегда ли можно организовать серию обменов так, что у каждого окажутся конфеты всех сортов?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78220

Тема:

[

Принцип крайнего (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 11

Даны числа $\alpha_{1}$ , $\alpha_{2}$ ,..., $\alpha_{k}$ , причём для всех натуральных нечётных n имеет место равенство

$\displaystyle \alpha_{1}^{n}$ + $\displaystyle \alpha_{2}^{n}$ + ... + $\displaystyle \alpha_{k}^{n}$ = 0.

Доказать, что те из чисел $\alpha_{1}$ , $\alpha_{2}$ ,..., $\alpha_{k}$ , которые не равны нулю, можно разбить на пары таким образом, чтобы два числа, входящие в одну и ту же пару, были бы равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 105165

Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Челноков Г.Р.

По периметру круглого торта диаметром n/p метров расположены n вишенок. Если на концах некоторой дуги находятся вишенки, то количество остальных вишенок на этой дуге меньше, чем длина дуги в метрах. Докажите, что торт можно разрезать на n равных секторов так, что в каждом куске будет по вишенке.

Прислать комментарий Решение

Задача 65241

Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Нилов Ф.

На доске написаны N ≥ 9 различных неотрицательных чисел, меньших единицы. Оказалось, что для любых восьми различных чисел с доски на ней найдётся такое девятое, отличное от них, что сумма этих девяти чисел целая. При каких N это возможно?

Прислать комментарий Решение

Задача 78109

Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]
Темы:	[	Неравенство треугольника	]

Сложность: 5-
Классы: 11

Плоский многоугольник A₁A₂...A_n составлен из n твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Можно ли его деформировать в треугольник?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 220]