Каталог по источникам

Выбрано 7 задач

В музее Гугенхайм в Нью-Йорке есть скульптура, имеющая форму куба. Жук, севший на одну из вершин, хочет как можно быстрее осмотреть скульптуру, чтобы перейти к другим экспонатам (для этого достаточно попасть в противоположную вершину куба). Какой путь ему выбрать?

Решение

Автор: Кузнецов А.

Окружность ω описана около остроугольного треугольника ABC. На стороне AB выбрана точка D, а на стороне BC – точка E так, что DE || AC. Точки P и Q на меньшей дуге AC окружности ω таковы, что DP || EQ. Лучи QA и PC пересекают прямую DE в точках X и Y соответственно. Докажите, что ∠XBY + ∠PBQ = 180°.

Решение

Найдите объём правильной треугольной пирамиды, боковые рёбра которой, наклонены к плоскости основания под углом α и удалены от середины противоположной стороны основания на расстояние l .

Решение

В пирамиде ABCD двугранные углы с рёбрами AB , BC и CA равны α1 , α2 и α3 соответственно, а площади треугольников ABD , BCD и CAD равны соответственно S1 , S2 и S3 . Площадь треугольника ABC равна S . Докажите, что S = S1 cos α1 + S2 cos α2 + S3 cos α3 (некоторые из углов α1 , α2 и α3 могут быть тупыми).

Решение

Докажите, что число Фибоначчи F_n совпадает с ближайшим целым числом к ${\dfrac{\varphi^n}{\sqrt5}}$ , то есть

F_n = $\displaystyle \left[\vphantom{\dfrac{\varphi^n}{\sqrt5}+\dfrac{1}{2}}\right.$ $\displaystyle {\dfrac{\varphi^n}{\sqrt5}}$ + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\dfrac{\varphi^n}{\sqrt5}+\dfrac{1}{2}}\right]$ .

Решение

Автор: Шаповалов А.В.

Числа от 1 до 37 записали в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится на следующее за ними число.
Какое число стоит на третьем месте, если на первом месте написано число 37, а на втором – 1?

Решение

Какой остаток даёт x + x³ + x⁹ + x²⁷ + x⁸¹ + x²⁴³ при делении на x – 1?

Решение

Задача 76551