Задача 98562

Темы:    [ Свойства параллельного переноса ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Композиции движений. Теорема Шаля ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Бугаенко В.О.

Из бумаги вырезали два одинаковых треугольника ABC и A'B'C' и положили их на стол, перевернув при этом один из треугольников.
Докажите, что середины отрезков AA', BB' и CC' лежат на одной прямой.

Решение

Заметим, что если оставить треугольник A₁B₁C₁ на месте, а треугольник ABC сдвинуть на некоторый вектор a, то середины отрезков AA₁, BB₁ и CC₁ сдвинутся на  ½ a.  Поэтому мы можем без потери общности точку A совместить с A₁. Но в этом случае биссектрисы углов BAB₁ и CAC₁, очевидно, совпадают, и середины отрезков AA₁, BB₁ и CC₁ лежат на этой общей биссектрисе.

Замечания

1. Утверждение немедленно следует из задачи 57905.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2001/2002
Номер	23
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	2