ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98505
Темы:    [ Рациональные функции (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
[ Монотонность, ограниченность ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Целые ненулевые числа a1, a2, ..., an таковы, что равенство

выполнено при всех целых значениях x, входящих в область определения дроби, стоящей в левой части.
  a) Докажите, что число n чётно.
  б) При каком наименьшем n такие числа существуют?


Решение

  а) Пусть n нечётно. Рассмотрим промежуток  (b, +∞),  где число b больше всех точек разрыва функции в левой части. Функция  an + 1/x  на этом промежутке убывает, функция     возрастает, ..., функция в левой части данного равенства убывает. А функция в правой части возрастает. Противоречие.

  б) При  n = 2  такое равенство невозможно. Действительно, функция     – дробно-линейная (со знаменателем  a2x + 1),  и прямая  y = x  пересекает её график не более чем в двух точках.
  При  n = 4  равенство уже возможно. Например,  


Ответ

б) При  n = 4.

Замечания

Идеология. Вот один из идейных способов построения указанного примера. Будем искать обратную к самой себе дробно-линейную функцию    Тогда  f(f(x)) имеет нужный вид. Функция обратна сама себе, если её график симметричен относительно прямой  y = x.  Для дробно-линейной функции достаточно, чтобы относительно этой прямой были симметричны её асимптоты:  x = – 1/b  и  y = a + 1/b.  Отсюда  – 1/b = a + 1/b,  то есть  b = – 2a.

2. Баллы: 3 + 4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2000/2001
Номер 22
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .