Задача 98117

Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Многоугольники (прочее) ] [ Правильные многоугольники ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Анджанс А.

Можно ли разрезать плоскость на многоугольники, каждый из которых переходит в себя при повороте на ^360°/₇ вокруг некоторой точки и все стороны которых больше 1 см?

Решение

  Рассмотрим правильный семиугольник. Проведём гомотетию с большим коэффициентом относительно середины A его стороны. Вырежем из большого семиугольника еще шесть маленьких, получающихся из первого поворотами на ^360°/₇ вокруг центра большого семиугольника. Оставшаяся "снежинка" имеет центр симметрии 7-го порядка (см. рис.).

.

  Повторяя процесс, получим разбиение полуплоскости на семиугольники и "снежинки". Вторую полуплоскость разобьём аналогично.

Ответ

Можно.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1991/1992
Номер	13
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	2