Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Куб 20×20×20 составлен из 2000 кирпичей размером 2×2×1.
Докажите, что его можно проткнуть иглой так, чтобы игла прошла через две
противоположные грани и не уткнулась в кирпич.
Решение2000 яблок лежат в нескольких корзинах. Разрешается убирать корзины и
вынимать яблоки из корзин.
Доказать, что можно добиться того, чтобы во всех оставшихся корзинах было поровну яблок, а общее число яблок было не меньше 100.
РешениеМожно ли подобрать четыре непрозрачных попарно непересекающихся шара так, чтобы ими можно было загородить точечный источник света?
РешениеВ клетки шахматной доски записаны числа от 1 до 64 (первая горизонталь нумеруется слева направо числами от 1 до 8, вторая от 9 до 16 и т. д.). Перед некоторыми числами поставлены плюсы, перед остальными – минусы, так что в каждой горизонтали и в каждой вертикали по четыре плюса и по четыре минуса. Докажите, что сумма всех чисел равна 0.
РешениеИмеется множество билетов с номерами от 1 до 30 (номера могут повторяться). Каждый из учеников вытянул один билет. Учитель может произвести следующую операцию: прочитать список из нескольких (возможно – одного) номеров и попросить их владельцев поднять руки. Сколько раз он должен проделать такую операцию, чтобы узнать номер каждого ученика? (Учеников не обязательно 30.)
Решение
|
|
|
Условие
Можно ли подобрать четыре непрозрачных попарно непересекающихся шара так, чтобы ими можно было загородить точечный источник света?
Решение
Рассмотрим правильный тетраэдр ABCD и поместим источник света в его центр O. Сдвинемся от O "немного" по лучу AO и отметим точку K. Опишем вокруг тетраэдра ABCK сферу. Соответствующий шар перекроет все направления из O, пересекаюшие треугольник ABC. Аналогично построим шары, "закрывающие" треугольники ABD, ACD и BCD. Если они пересекаются, проведём над тремя из них гомотетии с центром O так, чтобы они перестали пересекаться.
Ответ
Можно.
Замечания
Задача предлагалась только для школьников Москвы.
