ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97808
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Анджанс А.

Внутри правильного n-угольника взята точка, проекции которой на все стороны попадают во внутренние точки сторон. Этими точками стороны разделяются на 2n отрезков. Занумеруем их подряд:  1, 2, 3, ..., 2n.  Доказать, что сумма длин отрезков с чётными номерами равна сумме длин отрезков с нечётными номерами.


Решение

Пусть точка M лежит внутри правильного n-угольника A1A2...An (будем считать, что длина его стороны равна 1), а O – его центр.
Обозначим      Длина проекции отрезка A1M на сторону A1A2 равна     Поэтому одна из сумм равна     то есть половине периметра многоугольника.

Замечания

1. Задача предлагалась в "легком" варианте второго тура.

2. 6 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1982/1983
Номер 4
вариант
Вариант 9-10 класс
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .