ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97777
Темы:    [ Геометрические неравенства (прочее) ]
[ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

В четырёхугольнике длины всех сторон и диагоналей меньше 1 м. Доказать, что его можно поместить в круг радиуса 0,9 м.


Решение 1

Пусть d – наибольшее расстояние между вершинами четырёхугольника. Тогда весь четырёхугольник лежит в пересечении кругов радиуса d с центрами в соответствующих вершинах (пусть A и B). Эта фигура, в свою очередь, помещается в круг радиуса    с центром в середине отрезка AB.


Решение 2

Проекция такого четырёхугольника на любую прямую – отрезок длины, меньшей 1. Значит, его можно заключить в квадрат со стороной 1. Описанная окружность этого квадрата имеет радиус, меньший 0,75.

Замечания

1. На самом деле любую фигуру диаметра 1 можно поместить в правильный шестиугольник, вписанный в круг радиуса    Но доказать это гораздо сложнее. См. И.М. Яглом, В.Г. Болтянский. "Выпуклые фигуры". 1951. Зад. 31.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1981/1982
Номер 3
вариант
Вариант 7-8 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .