Задача 78143

Темы:    [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Решить в целых положительных числах уравнение

Решение

  Выражение в левой части больше ½, поэтому  x₁ < 2,  а значит,  x₁ = 1.  Пусть

  Тогда     то есть  ¹/_x = 1 + a.  Таким образом,

  Ясно, что целые части выражений в левой и правой части равны 1 и x₂, поэтому  x₂ = 1.  После этого получаем равенство

  Снова сравнивая целые части, получаем   x₃ = 3  и т.д.

Ответ

x₁ = 1,  x₂ = 1,  x₃ = 3,  x₄ = 4,  ...,  x_n = n.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	21
Год	1958
вариант
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	4