|
|
 |
Условие
Два равных диска насажены на одну ось. На окружности каждого из них по кругу на одинаковых расстояниях в произвольном порядке расставлены числа 1, 2, 3, ..., 20. Всегда ли можно повернуть один диск относительно другого так, чтобы никакие два одинаковых числа не стояли друг против друга?
Решение
Предположим, что при каждом повороте (при котором напротив числа, написанного на одном диске, стоит число, написанное на другом диске) найдутся два одинаковых числа, стоящих друг напротив друга. Тогда при каждом повороте есть ровно одна пара одинаковых чисел, стоящих друг напротив друга. Действительно, поворотов у нас всего 20, поэтому если бы хотя бы для одного поворота совпали две пары чисел, то количество чисел должно было бы быть не менее 21.
Пусть в исходном положении против числа i стоит число ai. Тогда остатки от деления чисел i – ai на 20 должны принимать все значения от 0 до 19. Значит, (1 – a1) + (2 – a2) + ... + (1 – a20) ≡ 0 + 1 + 2 + ... + 19 = 19·10 ≠ 0 (mod 20). Но сумма в левой части равна нулю. Противоречие.
Ответ
Всегда.
Замечания
20 можно заменить на любое чётное число. Для нечётного количества чисел это рассуждение не проходит. См. задачу 78111.
