Задача 78082

Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4- Классы: 9

Условие

64 неотрицательных числа, сумма которых равна 1956, расположены в форме квадратной таблицы по восемь чисел в каждой строке и в каждом столбце. Сумма чисел, стоящих на двух диагоналях, равна 112. Числа, расположенные симметрично относительно любой диагонали, равны. Докажите, что сумма чисел в любой строке меньше 518.

Решение

Пусть сумма чисел в некоторой строке равна S. Рассмотрим два столбца, симметричных этой строке относительно двух диагоналей, и ещё строку, симметричную этим столбцам. Число 8 чётно, поэтому мы получим два разных столбца и две разных строки. На пересечениях этих строк и столбцов стоят 4 числа, сумма s которых не больше 112. Сумма всех чисел, стоящих в этих двух строках и двух столбцах равна  4S – s,  значит,  4S – s ≤ 1956.  Следовательно,  4S ≤ 1956 + 112 = 1968 = 4·517.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	19
Год	1956
вариант
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	2